Was ist der Dreisatz?
Wenn Sie die letzten 24 Stunden Revue passieren lassen, haben Sie den Dreisatz vermutlich mehrmals unbewusst benutzt. Beim Blick auf den Kilometerzähler des Autos und einer schnellen Kalkulation, ob der Tank noch reicht. Beim Umrechnen des Bruttolohns auf einen Tages- oder Stundenwert. Beim Verdoppeln eines Rezepts, weil unerwartet Besuch kommt. Beim Vergleich zweier Angebote im Supermarkt: „5,99 € für 500 g gegenüber 8,49 € für 750 g – was ist günstiger?" Der Dreisatz ist die mathematische Grundoperation, mit der wir alltägliche Verhältnisse und Proportionen ausrechnen.
Der Begriff „Dreisatz" kommt daher, dass drei Werte gegeben sind – und ein vierter gesucht wird. Deshalb heißt er in älterer Literatur auch „regula de tri" (lateinisch: die Regel der Drei) oder auf Englisch „rule of three". Formal beschreibt er das Verhältnis vierer Zahlen: a verhält sich zu b wie c zu x. Sind a, b und c bekannt, ist x eindeutig bestimmt: x = (b · c) / a. Diese eine Formel deckt gefühlt 80 % aller Rechenaufgaben ab, mit denen wir außerhalb einer Schulklausur zu tun haben.
Direkter Dreisatz Schritt für Schritt
Beim direkten Dreisatz wachsen beide Größen im gleichen Verhältnis: Doppelt so viel Einheit → doppelt so viel Ergebnis. Das ist der Normalfall im Alltag. Ein Beispiel mit vollem Rechenweg:
Aufgabe: 750 Gramm Käse kosten 6,45 €. Was kosten 250 Gramm?
Schritt 1 – Auf die Einheitsgröße reduzieren (hier: 1 Gramm): 6,45 € ÷ 750 g = 0,0086 € pro Gramm.
Schritt 2 – Auf die gesuchte Menge hochrechnen: 0,0086 € × 250 g = 2,15 €.
Ergebnis: 250 Gramm Käse kosten 2,15 €.
Wichtig: Wenn Sie mit dem Taschenrechner den ersten Zwischenschritt runden, kann das zweite Ergebnis ungenau werden. Deshalb ist es besser, die Zwischenzahl im Speicher zu behalten oder die Kurzform zu nutzen: x = (6,45 × 250) / 750 = 2,15 €. In Excel lautet dieselbe Formel schlicht =B1*C1/A1.
Umgekehrter Dreisatz: die häufigste Falle
Beim umgekehrten Dreisatz verhalten sich die Größen gegenläufig: Mehr Einheit → weniger Ergebnis. Klassisch: „3 Bagger schaffen eine Baustelle in 12 Tagen. Wie lange brauchen 4 Bagger?" Die schnelle Antwort „16 Tage“ ist falsch, denn mehr Bagger brauchen weniger Zeit. Richtige Rechnung:
Schritt 1 – Gesamtaufwand berechnen: 3 Bagger × 12 Tage = 36 Bagger-Tage.
Schritt 2 – Auf neue Baggeranzahl umlegen: 36 Bagger-Tage ÷ 4 Bagger = 9 Tage.
Ergebnis: 4 Bagger schaffen es in 9 Tagen.
Weitere Beispiele für umgekehrte Proportionalität: Geschwindigkeit und Zeit (schneller = kürzer), Personenanzahl und Portionsgröße bei fester Menge (mehr Personen = weniger pro Kopf), Anzahl Arbeiter und Dauer (mehr Arbeiter = kürzer, sofern sie sich nicht gegenseitig behindern – Softwareprojekte funktionieren übrigens nicht so, siehe Brooks' Law).
10 Beispiele aus dem Alltag
1. Supermarkt-Preisvergleich (Grundpreis): Zwei Marken-Butter, unterschiedliche Verpackungen. 250 g für 2,49 € oder 200 g für 1,89 €? Dreisatz auf 100 g reduzieren: 0,996 €/100 g vs. 0,945 €/100 g. Die kleinere Packung ist der bessere Deal.
2. Kochen und Backen: Rezept für 4 Personen – aber 6 Gäste sitzen am Tisch. Alle Zutaten mit Faktor 6/4 = 1,5 hochrechnen. 500 g Mehl → 750 g. 2 Eier → 3 Eier.
3. Kraftstoffkosten pro 100 km: Ich habe 42 Liter für 340 km gebraucht (Anhänger, Steigung). Verbrauch: (42 × 100) / 340 = 12,35 l/100 km. Für die nächsten 850 km brauche ich also 105 Liter.
4. Umrechnung von Bruttolohn: 3.400 € Brutto pro Monat, 21 Arbeitstage à 8 Stunden = 168 Stunden. Stundenlohn brutto: 3.400 / 168 = 20,24 €. Ausführlicher im Brutto-Netto-Rechner und Stundenlohn-Rechner.
5. Handwerker-Materialverbrauch: Ein Eimer Wandfarbe reicht laut Etikett für 40 m² Wandfläche. Ihre Wand ist 62 m² groß. Sie brauchen 62/40 = 1,55 Eimer – also praktisch 2 Eimer, damit Sie am Ende nicht ohne Farbe dastehen.
6. Wechselkurse und Reisebudget: Am Flughafen zeigt der Kurs 1 € = 1,08 USD. Sie haben 850 € umgetauscht – was bekommen Sie in USD? 850 × 1,08 = 918 USD. Umgekehrt: für 500 USD Zielausgabe brauchen Sie 500 / 1,08 = 463 €.
7. Zinseszins-Vorberechnung: Wenn eine Anlage in 3 Jahren 12 % Rendite bringt, was ist der jährliche Durchschnitt? Nicht 4 % (das wäre einfache Zinsrechnung), sondern (1,12)^(1/3) − 1 = 3,85 %. Der Dreisatz reicht hier nicht – der Zinseszins-Rechner hilft.
8. Immobilien-Renditerechnung: Eine Wohnung kostet 280.000 € und bringt 12.600 € Jahresmiete. Bruttomietrendite: (12.600 / 280.000) × 100 = 4,5 %. Für 5 % Rendite dürfte der Kaufpreis maximal 12.600 / 0,05 = 252.000 € betragen. Praktischer im Mietrenditerechner.
9. Handwerker-Angebot vergleichen: Zwei Angebote für dieselbe Sanierung – Handwerker A: 8.400 € für 3 Wochen. Handwerker B: 9.200 € für 2 Wochen. Wenn Sie unter Zeitdruck stehen: pro Woche kostet A 2.800 €, B 4.600 €. Die zusätzliche Woche bei A kostet Sie 2.800 € – mehr als der Aufpreis von B.
10. Zeit-Management: Sie brauchen für 50 Rechnungen pro Woche gefühlt 5 Stunden. Wenn Ihr Kundenstamm auf 80 Rechnungen wächst: (80 × 5) / 50 = 8 Stunden – Sie müssen sich also entweder Zeit blockieren oder automatisieren.
Vom Dreisatz zur Prozentrechnung
Prozentrechnung ist ein Sonderfall des Dreisatzes. „100 % entsprechen dem Grundwert, x % entsprechen dem gesuchten Wert." Beispiel: „Was sind 23 % von 380 €?" – Dreisatz: 100 % ↔ 380 €, 23 % ↔ x. Lösung: x = (380 × 23) / 100 = 87,40 €. Wer den Dreisatz versteht, versteht Prozentrechnung automatisch. Der Prozent-Rechner nimmt Ihnen die Zwischenschritte ab.
Praktisch relevant: Umgekehrte Prozentrechnung („Ein Artikel kostet nach 20 % Rabatt noch 63,20 € – was war der Originalpreis?"). Der Rabattpreis entspricht 80 % vom Original. Dreisatz: 80 % ↔ 63,20 €, 100 % ↔ x. Lösung: x = (63,20 × 100) / 80 = 79,00 € Originalpreis.
Häufige Fehler und wie Sie sie vermeiden
Fehler 1: Direkter statt umgekehrter Dreisatz. Bei jeder Aufgabe die Frage stellen: „Wenn eine Größe wächst, wächst oder schrumpft die andere?" Bei Preisen, Mengen, Rezepten: direkt. Bei Zeit-versus-Personen, Geschwindigkeit-versus-Dauer: umgekehrt.
Fehler 2: Falsche Einheiten. Wenn eine Größe in Kilogramm angegeben ist, die andere in Gramm, gibt es Faktor-1000-Fehler. Erst umrechnen, dann rechnen.
Fehler 3: Runden zu früh. Beim Reduzieren auf die Einheit (Schritt 1) entstehen Zwischenwerte wie 0,0086. Wer da auf 0,01 rundet, liegt am Ende gut 15 % daneben.
Fehler 4: Vergessen, ob multiplikative Beziehung überhaupt gilt. Beispiel: „Ein Baby wiegt bei Geburt 3,5 kg. Wenn es einen Monat später 4 kg wiegt, wie viel wiegt es in einem Jahr?" – Nicht 42 kg! Wachstumsraten sind nicht linear. Der Dreisatz gilt nur bei echten Proportionen.